（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。

辅助线

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

例题详解

例1

已知，在四边形abcd中，∠a=∠c，ab∥cd。求证：四边形abcd是平行四边形。

证明：∵∠a=∠c，ab∥cd

∴∠b=∠d(等角的补角相等）

∵∠a=∠c且∠b=∠d

∴四边形abcd是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

例2

已知平行四边形abcd中，对角线ac和bd相交于点o，ac=10，bd=8.

（1）若ao⊥bd，试求四边形abcd的面积；

（2）若ac与bd的夹角∠aod=，求四边形abcd的面积；

（3）试讨论：若把题目中“平行四边形abcd”改为“四边形abcd”，且∠aod=

ac=，bd=，试求四边形abcd的面积（用含

，a，b的代数式表示）.

解：（1）∵ac⊥bd

∴四边形abcd的面积

=1/2x10x8

=40………………………………………2分

（2）过点a分别作ae⊥bd，垂足为e…………………………………3分

∵四边形abcd为平行四边形ao=co=1/2ac=5，

bo=do=1/2bd=4

在rt⊿aoe中，sin∠aoe=ab/ao

∴ae=aoxsin∠aoe=aoxsin60°=5x√3/2=5√3/2…………4分

∴s△aod=1/2odxae=1/2x4x√3/2x5=5√3………………………………5分

∴四边形abcd的面积s=4s△aod=20√3……………………………………6分

(3）如图所示过点a，c分别作ae⊥bd，cf⊥bd，垂足分别为e，f…………7分在rt⊿aoe中，sin∠aoe=ae/ao

∴ae=aoxsin∠aoe=aoxsin

同理可得cf=coxoxsin………………………………8分

∴四边形abcd的面积bd=1/2bdxae+1/2bdxcf

=1/2bdxo）

=1/2bdxacsin

=1/2absin

〔3〕如图所示，在平行四边形abcd中，ae、cf分别是∠dab、∠bcd的平分线，求证：四边形afce是平行四

边形.

分析：由四边形abcd是平行四边形，可得，ce∥af，∠dab=∠dcb，又ae、cf分别平分∠dab、∠bcd，所以∠2=∠3，可证四边形afce是平行四边形.

解答：

证明：∵四边形abcd是平行四边形，

∴ce∥af，∠dab=∠dcb，

∵ae、cf分别平分∠dab、∠bcd，∴∠2=∠3，

又∠3=∠cfb，

∴∠2=∠cfb，

∴ae∥cf，

又ce∥af，

∴四边形afce是平行四边形.

例3

在四边形abcd中，已知∠a=∠c，∠b=∠d，求证四边形abcd为平行四边形。

证明：∵∠a=∠c，∠b=∠d，∠a+∠c+∠b+∠d=360°

∴2（∠a+∠b）=360°

∴∠a+∠b=180°

即ad∥bc

同理，可得ab∥cd

∴四边形abcd为平行四边形

过平行四边形对角线的交点任一直线平分平行四边形的面积。

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